Zahlensystem

Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des jeweiligen Zahlensystems als Folge von Ziffern beziehungsweise Zahlzeichen dargestellt.

Die moderne Forschung unterscheidet zwischen additiven, hybriden und positionellen (Stellenwert-) Zahlensystemen.

Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle.

Ein Beispiel ist das Strichsystem (Unärsystem), das sich anbietet, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll (wie zum Beispiel die Getränke auf einem Bierdeckel). Hierbei wird die Zahl $n$ durch $n$ Striche dargestellt. Dies ist vermutlich eines der ältesten Zählsysteme überhaupt. Das Unärsystem wird bei der Darstellung größerer Zahlen sehr schnell unübersichtlich. Deshalb ist es meist üblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fünften Strich quer über die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es aus diesem Grund nicht geeignet ist, große Zahlen darzustellen, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet. Eine Addition um einen Zahlenwert ist einfach durch das Hinzufügen eines Striches möglich. Herkömmliche Systeme lassen eine so einfache und schnelle Erweiterung im Allgemeinen nicht zu.

Hybridsysteme

Hierbei wird eine Grundziffer einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt; die Werte beider werden miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends v. Chr., in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus Äthiopien, als auch aus Südindien und Sri Lanka, sowie der Maya-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.

Beispiele im japanisch/chinesischen Zahlensystem

    23:  二十三  (2 × 10 + 3)
30.000:  三万    (3 × 10.000)

Stellenwertsysteme

In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) bestimmt die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer. Die „niederwertigste“ Position steht dabei im Allgemeinen rechts.

Ein Stellenwertsystem hat eine Basis $b$ (man spricht auch von einem $b$-adischen Zahlensystem). Jede Zifferposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die $n$-te Position hat man einen Wert von $b^n$ (wenn die niederwertigste Position mit 0 nummeriert ist).

Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt durch Multiplikation der einzelnen Ziffernwerte $z_i$ mit den zugehörigen Stellenwerten $b^i$ und der Addition dieser Produkte:

Zahlenwert = $z_n\cdot b^n+\cdots +z_i\cdot b^i+\cdots +z_0\cdot b^0$

Eigenschaften

• Jede ganze Zahl $b\ge 2$ kann als Basis verwendet werden. Die gängigsten Basen sind 2 (Dualsystem), 8 (Oktalsystem), 10 (unser vertrautes Dezimalsystem) oder 16 (das in der Informatik wichtige Hexadezimalsystem).
• Für die Darstellung werden Ziffern benötigt, die von $0$ bis $b-1$ laufen.
• Die Zifferposition bestimmt den Stellenwert $b^n$.
• Zwei benachbarte Stellenwerte unterscheiden sich um den Faktor $b$.
• Der Zahlenwert ergibt sich aus der Addition aller Ziffernwerte, welche zuerst mit ihrem entsprechenden Stellenwert multipliziert worden sind.
• Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man beliebige rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:

• Die Ziffern einer rationalen Zahl $p/q$ erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division. Im Zehner-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Hat $q$ zur Basis $b$ teilerfremde Primfaktoren, bricht die schriftliche Division nicht ab, sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. Diese wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet, z. B.

$\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}3\dots =0,\bar{3}.$

• Die Basis $b$ muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth: The Art of Computer Programming.
• Eine andere Darstellung für rationale und irrationale Zahlen ist der Kettenbruch, welcher bessere Approximationen liefert als die Stellenwertsysteme.

Siehe auch

• Zahlensystem zur Basis 62

Literatur

• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2. Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9.
• John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6.

Weblinks

Wiktionary: Zahlensystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Numeral systems – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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• Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme (JavaScript)
• Online Rechner bis 35-Zahlensystem konvertieren unterschiedlicher Zahlensysteme und Visualisierung (JavaScript)
• Online-Tool zum gleichzeitigen Konvertieren der Zahlensysteme (PHP)
• Es werde Zahl! – Der Ursprung des Rechnens. Artikel zur Geschichte der Zahlensysteme mit Tabellen von ägyptischen Zahlhieroglyphen, hieratischen und Keilschrift-Zahlen.
• Péter Burcsi, Attila Kovács: Algorithmic problems in the research of number expansions. Vortrag Graz 2007