Scheinbare Größe

Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem geometrischen Begriff der scheinbaren Größe. In der Astronomie bezeichnet man auch die scheinbare Helligkeit oft als scheinbare Größe. Sehwinkel bezeichnet auch allgemein den Winkel zwischen Visierlinie und einer Bezugsrichtung. Sehwinkel ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel, siehe auch Gesichtswinkel.

Scheinbare Größe

Die scheinbare Größe (auch scheinbarer Durchmesser, Sehwinkel) eines Objekts ist der Winkel, unter dem es von einem Beobachter wahrgenommen wird.

Skizze: scheinbare Größe

Nebenstehende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen scheinbarer Größe α, Entfernung r und wahrer Ausdehnung g eines Objekts. Es lässt sich daraus folgende Beziehung zwischen den drei Größen ableiten:

$ \tan {\frac {\alpha }{2}}={\frac {g}{2\,r}} $

Ist der Betrachtungsabstand r zu einem Objekt gleich dessen Größe g, so erscheint das Objekt stets unter einem Winkel α von

$ \alpha =2\,\arctan {\frac {1}{2}}=53{,}13^{\circ } $

In der Geodäsie kann mittels eines Objekts mit genormter Größe g, beispielsweise einer senkrecht aufgestellten Latte, aus der scheinbaren Größe α die Entfernung r berechnet werden:

$ r={\frac {g}{2\,\tan {\tfrac {\alpha }{2}}}} $

Unterschiede bei den berechneten Ausdehnungen g, g' und g" eines unregelmäßigen Objekts abhängig von den gegebenen Abständen r, r' und r"

In der Astronomie kann bei bekanntem Abstand r eines Objekts dessen ungefähre wahre Ausdehnung g berechnet werden:

$ g=2\,r\,\tan {\frac {\alpha }{2}} $

Für kleine Winkel < 1° kann hier auch angenähert werden (Bogenmaß):

$ \tan x\approx x $

und damit für die scheinbare Größe in Winkelminuten:

$ \alpha \approx {\frac {10800\cdot g}{\pi \cdot r}} $

Der Fehler beträgt bei 1° 1/10000, bei 0,1° nur noch 1/1000 000

Ein Problem hierbei ist, dass astronomische Objekte wie z. B. diffuse Nebel häufig unregelmäßige Formen aufweisen oder solche wie Galaxien meist einen Neigungswinkel besitzen. Deshalb ergeben verschiedene Methoden zur Entfernungsmessung möglicherweise unterschiedliche Entfernungen r. Daraus resultieren in der Berechnung bei gleicher scheinbarer Größe α leicht unterschiedliche Ausdehnungen g. Aufgrund der riesigen Entfernungen spielt dies in der Praxis allerdings eine eher untergeordnete Rolle. Bei Beobachtungen von Objekten in kosmologischen Entfernungen wird der oben dargestellte Zusammenhang zwischen scheinbarer Größe, Ausdehnung und Entfernung eines Objekts zudem durch die Raumkrümmung erheblich verkompliziert.

Vertikaler und horizontaler Sehwinkel

In der Fotografie verwendet man den vertikalen und den horizontalen Sehwinkel eines Gegenstands. Den vertikalen Sehwinkel ε_v eines Gegenstands definiert man, indem man dem vom Auge fixierten Gegenstand ein waagrecht liegendes Rechteck umschreibt, dann die beiden vom Auge ausgehenden Strahlen zu den Endpunkten der senkrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt zieht und den Winkel zwischen diesen Strahlen bestimmt. Analog ist der horizontale Sehwinkel ε_h der Winkel zwischen den beiden Strahlen vom Auge zu den Endpunkten der waagrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt.

Abbildung: Der vertikale und der horizontale Sehwinkel

Wählt man das kartesische Koordinatensystem, dessen Ursprung im Mittelpunkt des Rechtecks liegt, dessen y- und z-Achse die vertikale und horizontale Symmetrieachse des Rechtecks bilden und bei dem sich der Betrachter im Halbraum x > 0 befindet, so lassen sich diese beiden Sehwinkel für das Rechteck mit der vertikalen Seitenlänge G_v = 2γ_v und der horizontalen Seitenlänge G_h = 2γ_h für einen beliebigen Beobachterpunkt (x,y,z) trigonometrisch bestimmen:

$ \epsilon _{v}=\arctan {\frac {\gamma _{v}-y}{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}}-\arctan {\frac {-\gamma _{v}-y}{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}} $,

$ \epsilon _{h}=\arctan {\frac {\gamma _{h}-z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-\arctan {\frac {-\gamma _{h}-z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} $.

Auf Grund der Rotationssymmetrie des Funktionsgraphen des vertikalen Sehwinkels ε_v(x,y,z) bei der Drehung um die y- Achse ist (Zylindersymmetrie) kann dessen Untersuchung auf die x,y-Ebene eingeschränkt werden. Für die Sehwinkelfunktionen als Funktionen nur der Ebenenkoordinaten x und y erhält man die folgenden Terme und die in den Abbildungen dargestellten Funktionsgraphen:

$ \epsilon _{v}=\arctan {\frac {\gamma _{v}-y}{x}}-\arctan {\frac {-\gamma _{v}-y}{x}} $,

$ \epsilon _{h}=2\,\arctan {\frac {\gamma _{h}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} $

Abbildung: Graph des vertikalen Sehwinkels

Abbildung: Graph des horizontalen Sehwinkels

Maximale Sehwinkel eines Gegenstandes für eine Kamera

Für die vollständige und scharfe Abbildung eines fest vorgegebenen Objekts mittels einer Kamera ist der Kamerastandort auf einen Zulässigkeitsbereich Z eingeschränkt. Dieser Bereich Z wird durch vier Ungleichungen beschrieben, in welche die Kameraparameter eingehen:

1) ε_v(x,y,z) ≤ α_v,

2) ε_h(x,y,z) ≤ α_h,

3) ρ(x,y,z) = $ {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}} $ ≥ d = g_min - f,

4) x > 0,

wobei α_v der vertikale Bildwinkel, α_h der horizontale Bildwinkel, g_min der minimale Objektabstand und f die fest fixierte Brennweite der Kamera sind.

Abbildung: Bei vollständiger Abbildung des Objekts ist der Sehwinkel des Objekts nicht größer als der Bildwinkel der Kamera

Sucht man in diesem Bereich Z einen Standort, in dem der vertikale Sehwinkel ε_v bzw. der horizontale Sehwinkel ε_h des Objekts für die Kamera maximal ist, so liefert dies jeweils ein nichtlineares Optimierungsproblem, dessen Zielfunktion durch den zu maximierenden Sehwinkel und dessen Zulässigkeitsbereich durch Z gegeben ist. Will man dagegen für eine auf einem Kamerakran montierte Kamera einen Standort finden, in dem sowohl der vertikale als auch der horizontale Sehwinkel maximal sind, so führt dies auf die Lösung des Maximierungsproblems, bei dem beide Sehwinkel als Zielfunktionen simultan maximiert werden („multikriterielle Optimierung“).

Beschränkt man sich bei der simultanen Maximierung beider Sehwinkel ε_v und ε_h auf die x,y-Ebene, so wird der Rand $ \partial Z $ des Zulässigkeitsbereichs Z durch zwei der folgenden drei Kreisbögen gebildet:

K_d  :$ y=\pm f_{d}(x)=\pm {\sqrt {d^{2}-x^{2}}} $,

K_h  :$ y=\pm f_{h}(x)=\pm {\sqrt {\eta _{h}^{2}-x^{2}}} $,

K_v  :$ y=\pm f_{v}(x)=\pm {\sqrt {r_{v}^{2}-(x-x_{v})^{2}}} $,

mit η_h = γ_h/tan(α_h/2), w_v = tan α_v, x_v = γ_v/w_v, r_v = γ_v•(1+w_v²)^1/2, ξ_v = x_v + r_v = γ_v/tan(α_v/2), 0 < α_h, α_v < π.

Abbildung: Der Zulässigkeitsbereich Z und die Standortverbotszone V der Kamera

Für die Bestimmung des Optimalitätsbereichs O_s der simultanen Maximierung beider Sehwinkel ε_v und ε_h sind die Fälle I) 0 < α_v < π/2, II) α_v = π/2, III) π/2 < α_v < π und dazu jeweils die Unterfälle 1) R = max{d,η_h} ≤ ξ_v, 2) ξ_v < R < γ_v, 3) R = γ_v, 4) R > γ_v zu unterscheiden. Beispielsweise besteht in dem in der Praxis hauptsächlich auftretenden und in der Abbildung dargestellten Fall I.2) der Optimalitätsbereich O_s aus den beiden Schnittpunkten S = (x*,y*) und Ŝ = (x*,-y*) der Kreisbögen K_R und K_v.

Siehe auch

• Strahlensatz
• Bildwinkel
• Sichtfeld

Literatur

• Franz Pleier: Der optimale Standort für einen Fotografen, W-Seminararbeit am Kepler-Gymnasium Weiden/OPf., 2010