Eulersche Winkel

Die Eulerschen Winkel (oder Eulerwinkel) sind ein Satz dreier unabhängiger Variabler, mit denen die Orientierung (Drehlage) eines festen Körpers im dreidimensionalen Raum beschrieben werden kann.^[1] Im Besonderen dienen sie dazu, die in einem kartesischen Koordinatensystem bekannten Koordinaten eines zu einem Körperpunkt führenden Ortsvektors in die zu einem anderen kartesischen Koordinatensystem, das zum ersten verdreht^[2] ist, gehörenden Koordinaten umzurechnen.

Die Umrechnung erfolgt mit Hilfe einer Drehmatrix, die die im Ursprungspunkt stattfindende Drehung eines Koordinatensystems (gängige Bezeichnungen: raumfestes oder Labor-System) in ein anderes (gängige Bezeichnungen: körperfestes oder Körper-System) darstellt. Die Drehung erfolgt in drei Schritten nacheinander, deren Drehwinkel als die drei Eulerwinkel definiert sind. Die erste Drehachse ist eine raumfeste, die beiden anderen sind bei den jeweils anderen Drehungen mitgedrehte Achsen.^[1]

Das Umgekehrte, die Umrechnung von körperfesten in raumfeste Koordinaten und die Ermittlung der entsprechenden Drehmatrix sind analog durchzuführen. Die Ermittlung der Drehmatrix vereinfacht sich, wenn die Vorwärts-Matrix bekannt ist, denn die eine Matrix ist die transponierte Matrix der anderen.^[3]

Drehung eines Körpers mit eigenem Koordinatensystems (rot) aus einem Referenzsystem (blau) heraus als Folge von drei einzelnen Drehungen um eigene Körperachsen

Rechnen mit Drehmatrizen und Drehfolgen-Unterschiede

Die Sinus- und Cosinus-Werte der Eulerwinkel sind die Elemente einer Drehmatrix, mit deren Hilfe sich die beispielsweise im raumfesten xyz-Koordinatensystem angegebenen Koordinaten in die Koordinaten im körpereigenen XYZ-Koordinatensystem und umgekehrt umrechnen lassen.

$ {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\\\end{pmatrix}}&=M{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}\end{aligned}} $ $ {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}&=M^{T}{\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\\\end{pmatrix}}\end{aligned}} $

Die Drehmatrix $ M $ drückt die hierbei gedachte Überführung des xyz-Koordinatensystem ins XYZ-Koordinatensystem (Gleichung, links) und die transponierte Drehmatrix $ M^{T} $ den umgekehrten Vorgang (Gleichung, rechts) aus.

Eulerwinkel werden nicht für Drehungen um raumfeste Achsen, sondern immer für Drehungen um Achsen desjenigen Koordinatensystems angewendet, das schlussendlich das gedrehte System ist. Es gibt sechs verschiedene Kombinationen für drei aufeinander folgende Drehungen um drei verschiedene Achsen. Da zwei Achsen bei der Drehung um die dritte Achse ihre Richtung ändern, darf die dritte Drehung wieder um die erste Achse mit neuer Richtung erfolgen. Das ergibt sechs weitere Drehfolgen. Letztere werden als klassische oder reine Drehfolgen mit Eulerwinkeln bezeichnet, erstere sind die Gruppe der sogenannten Tait-Bryan-Drehungen beziehungsweise Tait-Bryan-Winkel.^[4]

Drehmatrizen der Standard-Kombinationen

Von den sechs klassischen oder reinen Euler-Drehfolgen werden zwei vorzugsweise verwendet und als sogenannte Standard-Konventionen bezeichnet.

Eulersche Winkel in „x-Konvention“
blau: Koordinatensystem in Ausgangslage
grün: Schnittgerade der xy-Ebenen, Zwischenlage der x-Achse
rot: Koordinatensystem in Ziellage

„x-Konvention“ (z, x’, z’’)

Zuerst wird mit dem Winkel $ \alpha $ um die $ z $-Achse des Koordinatensystems in Ausgangslage gedreht (Kurzzeichen z). Es folgt eine Drehung mit dem Winkel $ \beta $ um die $ x $-Achse in deren Lage nach der ersten Drehung (Kurzzeichen x’) und schließlich eine Drehung mit dem Winkel $ \gamma $ um die $ z $-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z’’).

Die Drehmatrix $ M_{zxz} $ enthält im Zielsystem XYZ die Komponenten der drei Einheitsvektoren des Ausgangssystems xyz in Abhängigkeit von den drei Eulerwinkeln $ \alpha $ , $ \beta $ und $ \gamma $ , mit denen die Drehung (z, x’, z’’) erfolgte.

$ {\begin{aligned}M_{zxz}&={\begin{pmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\M_{zxz}&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &\sin \alpha \ cos\gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \beta \cos \gamma \\\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}\end{aligned}} $ ^[5][3]

Die transponierte Matrix $ M_{zxz}^{T} $ lässt sich in bekannter Weise durch gegenseitige Vertauschen vonn Zeilen und Spalten in der Matrix $ M_{zxz} $ ermitteln.

$ {\begin{aligned}M_{zxz}^{T}&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \ cos\gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \\\end{pmatrix}}\end{aligned}} $

„y-Konvention“ (z, y’, z’’)

Zuerst wird um den Winkel $ \alpha $ um die $ z $-Achse des Koordinatensystems in Ausgangslage gedreht (Kurzzeichen z). Es folgt eine Drehung um den Winkel $ \beta $ um die $ y $-Achse in deren Lage nach der ersten Drehung (Kurzzeichen y’) und schließlich eine Drehung um den Winkel $ \gamma $ um die $ z $-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z’’).

Die Drehmatrix $ M_{zyz} $ enthält im Zielsystem XYZ die Komponenten der drei Einheitsvektoren des Ausgangssystems xyz in Abhängigkeit von den drei Eulerwinkeln
$ \alpha $ , $ \beta $ und $ \gamma $ , mit denen die Drehung (z, y’, z’’) erfolgte.

$ {\begin{aligned}M_{zyz}&={\begin{pmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&-\sin \beta \\0&1&0\\\sin \beta &0&\cos \beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}} $ ^[6]

$ {\begin{aligned}M_{zyz}&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\sin \beta \cos \gamma \\-\sin \alpha \cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}\end{aligned}} $ ^[7][8]

$ {\begin{aligned}M_{zyz}^{T}&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\sin \alpha \cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &\cos \alpha \sin \beta \\\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\-\sin \beta \cos \gamma &\sin \beta \sin \gamma &\cos \beta \end{pmatrix}}\end{aligned}} $

„zyx-Konvention“ in der Fahrzeugtechnik

Gier-, Nick- und Rollwinkel ($ \Psi ,\Theta ,\Phi $) als Lagewinkel eines Flugzeugs
Gier- und Nickwinkel gegenüber erdfestem System,
Rollwinkel gegenüber Flugzeug-Längsachse

In der Fahrzeugtechnik (Luftfahrt: DIN 9300; Automobilbau : DIN 70000; Schifffahrt) ist die (z,y',x'')-Konvention gebräuchlich. Sie enthält Drehungen um alle drei Koordinatenachsen, ist also eine Konvention aus den Tait-Bryan-Gruppe von Drehfolgen. In den Normen sind die Verwendung der Formelzeichen $ \Psi $, $ \Theta $ und $ \Phi $ und die Namen Gier-, Nick- und Roll-Winkel (engl. yaw, pitch and roll angle) für die drei Eulerwinkel vorgeschrieben.^[9] Durch die drei Drehungen wird das erdfeste oder geodätische System (engl. world frame)xyz in das körperfeste Koordinatensystem (engl. body frame) XYZ oder umgekehrt gedreht.

Die vom erdfesten System ausgehenden Drehungen geschehen bei der Überführung ins Fahrzeugsystem zum Beispiel wie folgt:

• Mit dem im erdfesten System gemessenen Gierwinkel $ \Psi $ (auch Steuerkurs oder Azimut genannt) wird um die $ z $-Achse gedreht. Die $ y $-Achse wird zur zwischenzeitlichen $ y $-Achse (Knotenachse N(y')).
  Hauptwertebereich: $ -\pi <\Psi \leq \pi $
• Mit dem gegen die Erdoberfläche ($ x $-$ y $-Ebene) gemessenen Nickwinkel $ \Theta $' (auch Längsneigung genannt) wird um die zwischenzeitliche $ y $-Achse (Knotenachse N(y')) gedreht. Es entsteht die fahrzeugfeste $ X $-Achse.
  Hauptwertebereich: $ -{\frac {\pi }{2}}\leq \Theta \leq {\frac {\pi }{2}} $
• Der Rollwinkel $ \Phi $ (auch Wankwinkel genannt) beschreibt die Drehung um die fahrzeugfeste $ X $-Achse. Es entstehen die fahrzeugfesten Achsen $ Y $ und $ Z $.
  Hauptwertebereich: $ -\pi <\Phi \leq \pi $

$ {\begin{aligned}M_{GNR}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Phi &\sin \Phi \\0&-\sin \Phi &\cos \Phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \Theta &0&-\sin \Theta \\0&1&0\\\sin \Theta &0&\cos \Theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \Psi &\sin \Psi &0\\-\sin \Psi &\cos \Psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}} $ ^[10]

$ {\begin{aligned}M_{GNR}&={\begin{pmatrix}-\cos \Theta \cos \Phi &\cos \Theta \sin \Phi &-\sin \Theta \\\sin \Psi \sin \Theta \cos \Phi -\cos \Psi \sin \Phi &\sin \Psi \sin \Theta \sin \Phi +\cos \Psi \cos \Phi &\sin \Psi \cos \Theta \\\cos \Psi \sin \Theta \cos \Phi +\sin \Psi \sin \Theta &\cos \Psi \sin \Theta \sin \Phi -\sin \Psi \cos \Phi &\cos \Psi \cos \Theta \end{pmatrix}}\end{aligned}} $ ^[11]

Beispiel für Gier-Nick-Roll

Der Gewichtsvektor G_E hat im erdfesten Koordinatensystem xyz nur eine z-Komponente (in Richtung Erdmittelpunkt):

$ G_{E}={\begin{pmatrix}0\\0\\mg\end{pmatrix}} $

Die Transformation ins flugzeugfeste Koordinatensystem geschieht dann durch Linksmultiplikation des erdfesten Gewichtsvektors $ G_{E} $ mit der Transformationsmatrix $ M_{GNR} $:

$ {\begin{aligned}G_{F}&=M_{GNR}G_{E}\\&={\begin{pmatrix}-\cos \Theta \cos \Phi &\cos \Theta \sin \Phi &-\sin \Theta \\\sin \Psi \sin \Theta \cos \Phi -\cos \Psi \sin \Phi &\sin \Psi \sin \Theta \sin \Phi +\cos \Psi \cos \Phi &\sin \Psi \cos \Theta \\\cos \Psi \sin \Theta \cos \Phi +\sin \Psi \sin \Theta &\cos \Psi \sin \Theta \sin \Phi -\sin \Psi \cos \Phi &\cos \Psi \cos \Theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\mg\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\ldots &\ldots &-\sin \Theta \\\ldots &\ldots &\sin \Psi \cos \Theta \\\ldots &\ldots &\cos \Psi \cos \Theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\mg\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-\sin \Theta \\\sin \Psi \cos \Theta \\\cos \Psi \cos \Theta \end{pmatrix}}mg\end{aligned}} $

Physikalisch richtig wirkt das Gewicht G_E bei vorhandenem Nickwinkel $ \Theta $ im Flugzeug beispielsweise auch nach hinten (in negative $ X $-Richtung).

Roll-Nick-Gier

Mit Hilfe der transponierten Drehmatrix $ M_{GNR}^{T} $ = $ M_{RNG} $ können die im Flugzeug gemessenen, auf das bordeigene Koordinatensystem bezogenen vektoriellen Größen (z. B. Beschleunigungen) in ein erdfestes Koordinatensystem umgerechnet werden.

$ {\begin{aligned}M_{GNR}^{T}=M_{RNG}&={\begin{pmatrix}-\cos \Theta \cos \Phi &\sin \Psi \sin \Theta \cos \Phi -\cos \Psi \sin \Phi &\cos \Psi \sin \Theta \cos \Phi +\sin \Psi \sin \Phi \\\cos \Theta \sin \Phi &\sin \Psi \sin \Theta \sin \Phi +\cos \Psi \cos \Phi &\cos \Psi \sin \Theta \sin \Phi -\sin \Psi \cos \Theta \\-\sin \Theta &\cos \Theta \sin \Psi &\cos \Theta \cos \Psi \end{pmatrix}}\end{aligned}} $

Matrix-Herleitung im allgemeinen Fall

Für eine beliebige Wahl der Drehachsenreihenfolge kann die sich ergebende Drehmatrix durch die Zuhilfenahme des folgenden Zusammenhangs einfach hergeleitet werden:^[12]

Die Drehmatrizen um die globalen Achsen sind bekannt. Wenn nun um eine bereits gedrehte Achse erneut gedreht werden soll, dann entspricht das der Drehmatrix um die entsprechende globale Achse, allerdings in einer transformierten Vektorbasis. Die Transformationsmatrix (Basiswechselmatrix) ist dabei gerade die vorhergehende Drehung.

Seien $ A $ und $ B $ zwei Drehmatrizen um die beiden globalen Achsen $ G $ und $ H $. Zur Berechnung der Drehmatrix zu der Reihenfolge $ (G,H^{\prime }) $ beobachtet man, dass die Drehmatrix für die zweite Drehung um $ H $ der basistransformierten Matrix $ {\tilde {B}}=ABA^{-1} $ entsprechen muss. Dadurch erhält man für die resultierende Gesamtdrehmatrix $ C={\tilde {B}}A=ABA^{-1}A=AB $. Für eine größere Anzahl von Drehungen erfolgt der Nachweis analog.

Durch diese Darstellung ergibt sich, dass sich die Drehmatrix für eine beliebige Drehreihenfolge in nacheinander gedrehten Achsen durch die einfache Multiplikation von Drehmatrizen um globale Koordinatenachsen ergibt – allerdings in umgekehrter Reihenfolge.

Ergebnis, Interpretation

Das erhaltene Koordinatensystem mit den Achsen $ X'' $, $ Y'' $ und $ Z'' $ ist das sogenannte körperfeste System. Die Winkel $ \phi $ und $ \theta $ geben dabei die Lage der $ Z'' $-Achse gegenüber dem körperfesten System an („Drehung“ und „Kippung“); der Winkel $ \psi $ beschreibt die Eigendrehung des Körpers um sie. Dem entsprechen folgende Namenskonventionen:

• Flugsteuerung (Rollwinkel, Nickwinkel, Gierwinkel)
• Kreiseltheorie: Präzession, Nutation und Spin oder Eigenrotation
• Azimut, Höhenwinkel oder Elevation und Rotation

Mathematische Eigenschaften

Die Abbildung, die den Euler-Winkeln die zugehörige Drehmatrix zuordnet, besitzt kritische Punkte, in denen diese Zuordnung nicht lokal umkehrbar ist und man von einem sogen. „Gimbal Lock“ spricht. Im Fall der og. x- oder y-Konvention tritt dieser stets dann auf, wenn der zweite Rotationswinkel gleich null wird und der Drehvektor der ersten Drehung damit derselbe ist wie der Drehvektor der zweiten Drehung. Das aber bedeutet, dass es für eine Rotation um die $ z $-Achse beliebig viele Eulerwinkel mit $ \alpha =Z+Z' $ gibt.

Bei der Definition der Lagewinkel nach der Luftfahrtnorm liegen die kritischen Punkte bei $ \textstyle \Theta =\pm {\frac {\pi }{2}} $.

Nachteile, Alternativen

Zur Darstellung von Drehungen haben Eulerwinkel mehrere Nachteile:

• Die oben erwähnte Singularität führt dazu, dass eine einzige Drehung durch unterschiedliche Eulerdrehungen ausgedrückt werden kann. Dies führt zu einem Phänomen, das als Gimbal Lock bekannt ist.
• Die korrekte Kombination von Drehungen im Euler-System ist nicht intuitiv anzugeben, da sich die Drehachsen verändern.

Andere Möglichkeiten, die Orientierung zu beschreiben und teils diese Nachteile zu umgehen, sind Rotationsmatrizen oder Quaternionen.

Anwendungen

In der Theoretischen Physik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung des Starren Körpers benutzt. Eine praktische Anwendung ergibt die bekannte kardanische Aufhängung ^[13] der technischen Mechanik.

In der Kristallographie werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung der Kreise des Röntgendiffraktometers und zur Beschreibung der Orientierungsdichteverteilungsfunktion von Texturen verwendet.

In der Astronomie sind die eulerschen Winkel unter anderen Bezeichnungen als Bahnelement eines Objekts geläufig.

In der Computergrafik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung der Orientierung eines Objektes verwendet.

In der Festkörper-NMR werden die eulerschen Winkel zur theoretischen Beschreibung und zur Simulation von Spektren benutzt.

Weblinks

Commons: Euler angles – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Die Mechanik starrer Körper, Die eulerschen Winkel – Lern- und Lehrmaterialien

• Eric W. Weisstein: Euler Angles. In: MathWorld. (englisch)

Anmerkungen