Elektromagnetischer Feldstärketensor

Elektromagnetischer Feldstärketensor

Der elektromagnetische Feldstärketensor (auch Faraday-Tensor oder einfach Feldstärketensor) ist eine physikalische Größe, die in der Elektrodynamik das elektromagnetische Feld als Feld in der Raumzeit beschreibt. Er wurde 1908 von Hermann Minkowski im Rahmen der Relativitätstheorie eingeführt. Die aus Physik und Technik bekannten vektoriellen Feldgrößen wie elektrische und magnetische Feldstärke lassen sich aus dem Feldstärketensor ableiten. Die Bezeichnung Tensor für die Art dieser Größe ist eine Abkürzung, tatsächlich handelt es sich um ein Tensorfeld, also einen von Punkt zu Punkt variierenden Tensor.

Definition

Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das Vektorpotential:

Fμν=μAννAμ

z. B. mit dem klassischen Vektorpotential

Aμ=(ϕ/c,A)

Die obige Definition ist auch für die Quantenelektrodynamik gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es handelt sich um einen Spezialfall der Feldstärketensor-Definition einer allgemeinen Eichtheorie.

Eigenschaften und Formeln

Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:

  • Fμν
    ist antisymmetrisch:
    Fμν=Fνμ
  • Verschwindende Spur:
    Fμμ=0
  • 6 freie Komponenten

Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:

In der Lagrangedichte tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:

FαβFαβ= 2(B2E2c2)

Von Interesse ist auch die mit dem Levi-Civita-Symbol gebildete, pseudoskalare Invariante:

ϵαβγδFαβFγδ=8c(BE)

Mit der Konvention  ϵ0123 = +1.

In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:

det(F)=1c2(BE)2

Der Energie-Impuls-Tensor Tμν der allgemeinen Relativitätstheorie für das elektromagnetische Feld wird aus Fαβ gebildet:

Tαβ=FαγFγβ14gαβFμνFνμ

Darstellung als Matrix

Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist koordinatenabhängig. In einer flachen Raumzeit (also mit Minkowski-Metrik) und kartesischen Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:

Fμν=(0Ex/cEy/cEz/cEx/c0BzByEy/cBz0BxEz/cByBx0)

(Diese Matrix wird gelegentlich ebenfalls kurz als Tensor bezeichnet, ist aber nicht der Tensor selbst).

Inhomogene Maxwellgleichungen in kompakter Formulierung

Es ist gebräuchlich, auch den dualen elektromagnetischen Feldstärketensor zu definieren:

F~μν:=12εμναβFαβF~μν=[0BxByBzBx0Ez/cEy/cByEz/c0Ex/cBzEy/cEx/c0]

wobei Fαβ der kovariante Feldstärketensor ist.

Damit lassen sich sowohl die homogenen, als auch die inhomogenen Maxwellgleichungen kompakt aufschreiben:

μFμν=μ0jνμF~μν=0

wobei der folgende Viererstrom verwendet wurde:

jμ=(cρ,j)

Darstellung in Differentialformschreibweise

Im Folgenden wird das CGS-System verwendet, um die fundamentalen Zusammenhänge klarer herauszuarbeiten.

Der Feldstärketensor F ist eine Differentialform zweiter Stufe auf der Raumzeit. Die maxwellschen Gleichungen lauten in Differentialformschreibweise dF=jmag und dF=j mit der magnetischen Stromdichte jmag und der elektrischen Stromdichte j, beide als 1-Formen wiederum auf der Raumzeit.

Da in der Regel von der Abwesenheit magnetischer Ladungen ausgegangen wird, ist dF=0, und der Feldstärketensor kann somit als Ableitung F=dA einer 1-Form A dargestellt werden. A entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.

Beispiel: Der Feldstärketensor einer Punktladung q ist F=qdtdr mit dem Abstand r von der Ladung in deren Ruhesystem (Voraussetzungen sind gleichförmige Bewegung und Abwesenheit von Raumkrümmung).

Die 4-Form 12FF ist die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes.

Ableitung der vektoriellen Feldgrößen

Relativ zur Bewegung eines Beobachters durch Raum und Zeit kann der Feldstärketensor in einen elektrischen und einen magnetischen Anteil zerlegt werden. Der Beobachter nimmt diese Anteile als elektrische beziehungsweise magnetische Feldstärke wahr. Unterschiedliche zueinander bewegte Beobachter können daher unterschiedliche elektrische oder magnetische Feldstärken wahrnehmen.

Beispiel: Wird in einem elektrischen Generator relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärkentensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.

In flacher Raumzeit (Minkowski-Raum) lassen sich die Vektorfelder E und B aus der Koordinatendarstellung F=12Fμνdxμdxν des Feldstärketensors ablesen: man erhält die obige Matrixdarstellung. Eine allgemeingültigere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung F=uE+(uB), wo u einem zeitartigen und E, B raumartigen Vektorfeldern entsprechen.[1]

Auftreten in der Quantenelektrodynamik

Der Feldstärketensor tritt direkt in der QED-Lagrangedichte (hier ohne Eichfixierungsterme) auf:

LQED=ψ¯[iγμDμm]ψ14FμνFμν

Literatur

  • J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, 2002, ISBN 3-1101-6502-3.
  • C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
  • Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.

Quellen