Breit-Wigner-Formel

Breit-Wigner-Formel

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Breit-Wigner-Verteilung

Die Breit-Wigner-Verteilung (nach Gregory Breit und Eugene Wigner) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

p(E)=12πΓ(EM)2+Γ2/4.

Γ ist die volle Breite der Kurve auf halber Maximalhöhe (Halbwertsbreite), M ist der Wert der Abszisse E beim Maximum.

Die Breit-Wigner-Verteilung wird manchmal auch als Lorentz-Kurve oder Cauchy-Verteilung (vor allem in der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie) bezeichnet.

Physikalische Bedeutung

Die Verteilung hat physikalische Bedeutung in der Beschreibung von Resonanzkurven, z. B. in der Kernphysik, Teilchenphysik oder für den getriebenen harmonischen Oszillator.

In der Teilchenphysik wird für die Energiespektren besonders kurzlebiger Teilchen häufig die relativistische Breit-Wigner-Formel verwendet

p(E)1(E2M2)2+M2Γ2.

Beispiel: Z0-Boson

Datei:Breit-Wigner.gif
Messergebnisse für Z0-Zerfall mit daran angepasster Breit-Wigner-Kurve

Speziell für den Zerfall des Z0-Bosons ergibt sich die Breit-Wigner-Formel zu

σif(s)=12π(c)2ΓiΓf(sMZ2c4)2+MZ2c4Γtot2.

Hierbei ist Γi die Partialbreite des Eingangskanals (Partialbreite für den Zerfall Z0e+e), Γf die Partialbreite des Ausgangskanals, s die Energie im Schwerpunktssystem und Γtot die Summe der Partialbreiten für alle möglichen Zerfälle in Fermion-Antifermion-Paare.

Beispiel: Resonanzkurve eines Schwingers

Die Resonanzkurve kann mittels der Lorentz-Kurve beziehungsweise Cauchy-Verteilung beschrieben werden:

F(f)=1πss2+(ff0)2.

Hierbei ist f0 die Resonanzfrequenz und der Parameter s beschreibt die Güte der Kurve. Das Maximum wird bei f0 erreicht und beträgt F(f0)=1πs.

Für den Spezialfall s=1 ist das Integral lösbar und hat über dem reellen Intervall den Wert 1:

f(x)dx=1π11+x2dx=1π(arctan()arctan())=1π(π/2(π/2))=1.

Das Verhältnis Q nennt man die Güte des Schwingers und kann auch in Funktion des Parameters s ausgedrückt werden

Q=f0B=f1f2B=f02s2(21)2s21,

dabei ist f0 das geometrische Mittel f0=f1f2 aus der oberen (f2) und der unteren Grenzfrequenz (f1). Die Grenzfrequenzen f1 bzw. f2 sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Größe (z. B. Spannung U) auf den 120,707 -fachen Wert des Maximalwertes F(f0) zurückgehen. Die Grenzfrequenzen können in Funktion des Parameters s wie folgt ausgedrückt werden:

f1,2=f0±s21.

Die Bandbreite ist die Differenz der Grenzfrequenzen B=f2f1. Der Parameter s kann in Funktion der Güte Q wie folgt ausgedrückt werden:

s=f0(4Q21)(21).

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