Sterntetraeder

Im Würfel sind zwei Tetraeder zu finden, die zum Sterntetraeder verschmelzen.

Das Sterntetraeder, auch bekannt als Sternkörper zum Oktaeder (auch wenn es sich nicht um einen Sternkörper handelt, da nicht in allen Ecken gleich viele Flächen zusammentreffen) und als Keplerstern, ist ein achtstrahliger Stern und gehört zu den nicht-konvexen Deltaedern. Es handelt sich um einen vielflächigen Körper, der durch Verschmelzung zweier punktsymmetrischer Tetraeder entsteht. Benannt durch Johannes Kepler (daher der Name „Keplerstern“) im Jahr 1609, ist dies sowohl das einfachste reguläre zusammengesetzte Polyeder als auch das einfachste nicht-konvexe gleichmäßige Polyeder. Erstmals dargestellt wurde er durch Leonardo da Vinci in Luca Paciolis „De Divina Proportione“ 1509.

Die äußeren Eckpunkte des Körpers beschreiben einen Würfel, während die Schnittmenge der beiden Tetraeder ein Oktaeder darstellt, dessen Kanten wiederum die Innenkanten des Sterntetraeders darstellen.

Der Grafiker M. C. Escher hat das Sterntetraeder als Motiv für das Bild Doppelplanetoid verwendet: Das eine Tetraeder hat die Form einer von Menschen bewohnten Burg, während das andere eine mit dem ersten durchdrungene, von Dinosauriern bewohnte Welt darstellt.^[1]

Das Sterntetraeder ist die erste Stufe der konvexen Form des Sierpinski-Oktaeders.^[2] Aus den acht kleinen Tetraedern können wieder Sterntetraeder gemacht werden, und dieser Vorgang kann wiederholt werden, so dass schließlich ein Fraktal entsteht, welches sich der Form eines Hexaeders annähert.^[3]^[4]

Formeln

Größen eines Sterntetraeders mit Kantenlänge a bzw. b = a/2
Volumen ≈ 0,18 a³	$V={\frac {a^{3}}{8}}{\sqrt {2}}=b^{3}{\sqrt {2}}$
Oberflächeninhalt ≈ 2,6 a²	$O={\frac {3}{2}}a^{2}{\sqrt {3}}=6\,b^{2}{\sqrt {3}}$
Umkugelradius ≈ 0,61 a	$R={\frac {a}{4}}{\sqrt {6}}={\frac {b}{2}}{\sqrt {6}}$

Das Volumen des Sterntetraeders ist gleich der Summe der Volumina von einem Oktaeder und acht aufgesetzten Tetraedern mit jeweils halber Kantenlänge $$ a/2 $$ .

Der Umkugelradius des Sterntetraeders entspricht dem eines einzelnen Tetraeders.

Anwendung in der Kunst

Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche in Kidekscha
Weitere Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche

Einzelnachweise

Weblinks

Commons: Sterntetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Vorlage:Commonscat/WikiData/Difference

Eric W. Weisstein: Sterntetraeder. In: MathWorld. (englisch)

[1] M. C. Escher: Double Planetoid

[2] Keplerian Fractals

[3] Approaching a Fractal Cube by a series of non-convex polyhedra

[4] Keplerian Fractals

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[4]