Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

Es sei $M$ ein Modul über einem Ring $A$. Die Länge von $M$ ist das Supremum der Längen $n$ von Ketten von Untermoduln der Form

$0=N_0⊊N_1⊊N_2⊊\dots ⊊N_n=M.$

Die Länge wird oft mit ${\ell }_A(M)$ oder $\ell (M)$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Nur der Nullmodul hat Länge 0.
• Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
• Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.
• Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist

$0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$

exakt, so ist $\ell (M)=\ell (M^{\prime })+\ell (M^{″})$; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

• Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Beispiele

• Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
• Der $\mathbb{\mathbb{Z}}$-Modul $\mathbb{\mathbb{Z}}$ hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl $n$ ist

$0\subset 2^n\mathbb{\mathbb{Z}}\subset 2^{n-1}\mathbb{\mathbb{Z}}\subset \dots \subset \mathbb{\mathbb{Z}}$

eine Kette von Untermoduln der Länge $n+1$.