Länge (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.

Definition

Es sei $$ M $$ ein Modul über einem Ring $$ A $$ . Die Länge von $$ M $$ ist das Supremum der Längen $$ n $$ von Ketten von Untermoduln der Form

0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \ldots \subsetneq N_{n}=M.

Die Länge wird oft mit $\ell _{A}(M)$ oder $\ell (M)$ bezeichnet.

0\to M'\to M\to M''\to 0

exakt, so ist

\ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')

; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.

Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.

Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
Der $\mathbb {Z}$ -Modul $\mathbb {Z}$ hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl $$ n $$ ist

0\subset 2^{n}\mathbb {Z} \subset 2^{n-1}\mathbb {Z} \subset \ldots \subset \mathbb {Z}

eine Kette von Untermoduln der Länge

$ n+1 $

.