Einheit (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter einer Einheit in einem unitären Ring (Ring mit 1) $(R, +, \cdot, 0, 1)$ jeden beidseitigen Teiler von 1 (dem neutralen Element der Multiplikation).

Wenn es also $a, b$ aus $R$ gibt mit $a \cdot b = b \cdot a = 1$ , so sind $a$ und $b$ beide Einheiten. In diesem Fall heißt $b$ das zu $a$ inverse Element, und $a$ das zu $b$ inverse.

Die Menge der Einheiten

R^{*} := {x \in R | \exists y \in R : x \cdot y = y \cdot x = 1}

ist mit der Multiplikation eine Gruppe, die so genannte Einheitengruppe von $R$ , seltener wird auch die Notation $E (R)$ verwendet. Man beachte, dass aus der Definition der Einheitengruppe insbesondere nicht folgt, dass $R^{*}$ kommutativ ist.

Ein Ringelement, das keine Einheit ist, heißt Nichteinheit.

Beispiele

1 ist immer eine Einheit (weil 1 · 1 = 1).
0 ist in einem Ring genau dann eine Einheit, wenn der Ring der Nullring ist.
Nullteiler sind niemals Einheiten.
In einem Körper $K$ ist $K^{*} = K ∖ {0}$ . Das heißt, in einem Körper ist außer der 0 jedes Element eine Einheit.
In dem Polynomring über dem Körper $K$ gilt $K [X]^{*} = K^{*}$ . Die Einheiten entsprechen also genau den Polynomen mit Grad null.
Im Ring $Z$ der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten 1 und −1.
Im Ring $Z [i]$ der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten 1, −1, i, −i.

Der nichtkommutative Fall

Ist der unitäre Ring R nicht kommutativ, dann benötigt man Begriffe für einseitige Einheiten.

Ein Element a, das die Bedingung ab = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Linkseinheit.
Ein Element a, das die Bedingung ba = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Rechtseinheit.
Ein Element a heißt Einheit, falls es Elemente b und c gibt mit ab = 1 und ca = 1.

Ein Element $a \in R$ ist also genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Ring stimmen die drei Begriffe überein. $1$ bleibt auch im nicht-kommutativen Fall eine (beidseitige) Einheit.

Ist a eine Einheit, dann folgt aus $b = 1 b = c a b = c 1 = c$ , dass die einseitigen Inversen b und c eindeutig bestimmt sind und übereinstimmen, das Inverse von a ist also eindeutig bestimmt und wird meist mit $a^{- 1}$ bezeichnet.

Beispiel

Es gibt den folgenden Ring R, in dem es eine Linkseinheit A gibt, die keine Rechtseinheit ist, und eine Rechtseinheit B, die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind A und B noch einseitige Nullteiler.

R bestehe aus allen Matrizen der Größe "abzählbar-mal-abzählbar" mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). R ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrix-Addition und -Multiplikation. Die Einheitsmatrix E hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen, sie ist das Einselement von R (das neutrale Element der Multiplikation).

A sei die Matrix in R, die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & ⋱ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ \end{matrix})

B sei die Transponierte $A^{T}$ von A, also die Matrix, die in der ersten Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat, und sonst nur Nullen.

Es ist AB = E, also ist A eine Linkseinheit und B eine Rechtseinheit. Für jedes Element C von R hat aber das Produkt CA in der ersten Spalte nur Nullen, und das Produkt BC in der ersten Zeile nur Nullen. Damit kann A keine Rechtseinheit und B keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix D, die nur in der Komponente D_1,1 eine Eins und sonst nur Nullen enthält, ist AD = 0 und DB = 0, also ist A ein Linksnullteiler und B ein Rechtsnullteiler.

Eine funktionalanalytische Variante dieses Beispiels ist der unilaterale Shiftoperator.