Einheit (Mathematik)

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In der Mathematik versteht man unter einer Einheit in einem unitären Ring (Ring mit 1) $ (R,+,\cdot ,0,1) $ jeden beidseitigen Teiler von 1 (dem neutralen Element der Multiplikation).

Wenn es also $ a,b $ aus $ R $ gibt mit $ a\cdot b=b\cdot a=1 $, so sind $ a $ und $ b $ beide Einheiten. In diesem Fall heißt $ b $ das zu $ a $ inverse Element, und $ a $ das zu $ b $ inverse.

Die Menge der Einheiten

$ R^{*}:=\{x\in R\,|\,\exists y\in R:x\cdot y=y\cdot x=1\} $

ist mit der Multiplikation eine Gruppe, die so genannte Einheitengruppe von $ R $, seltener wird auch die Notation $ E(R) $ verwendet. Man beachte, dass aus der Definition der Einheitengruppe insbesondere nicht folgt, dass $ R^{*} $ kommutativ ist.

Ein Ringelement, das keine Einheit ist, heißt Nichteinheit.

Beispiele

  • 1 ist immer eine Einheit (weil 1 · 1 = 1).
  • 0 ist in einem Ring genau dann eine Einheit, wenn der Ring der Nullring ist.
  • Nullteiler sind niemals Einheiten.
  • In einem Körper $ \mathbb {K} $ ist $ {\mathbb {K} }^{*}=\mathbb {K} \setminus \{0\} $. Das heißt, in einem Körper ist außer der 0 jedes Element eine Einheit.
  • In dem Polynomring über dem Körper $ \mathbb {K} $ gilt $ \mathbb {K} [X]^{*}=\mathbb {K} ^{*} $. Die Einheiten entsprechen also genau den Polynomen mit Grad null.
  • Im Ring $ {\mathbb {Z}} $ der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten 1 und −1.
  • Im Ring $ {\mathbb {Z}}[\mathrm {i} ] $ der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten 1, −1, i, −i.

Der nichtkommutative Fall

Ist der unitäre Ring R nicht kommutativ, dann benötigt man Begriffe für einseitige Einheiten.

  • Ein Element a, das die Bedingung ab = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Linkseinheit.
  • Ein Element a, das die Bedingung ba = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Rechtseinheit.
  • Ein Element a heißt Einheit, falls es Elemente b und c gibt mit ab = 1 und ca = 1.

Ein Element $ a\in R $ ist also genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Ring stimmen die drei Begriffe überein. $ 1 $ bleibt auch im nicht-kommutativen Fall eine (beidseitige) Einheit.

Ist a eine Einheit, dann folgt aus $ b=1b=cab=c1=c $, dass die einseitigen Inversen b und c eindeutig bestimmt sind und übereinstimmen, das Inverse von a ist also eindeutig bestimmt und wird meist mit $ a^{-1} $ bezeichnet.

Beispiel

Es gibt den folgenden Ring R, in dem es eine Linkseinheit A gibt, die keine Rechtseinheit ist, und eine Rechtseinheit B, die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind A und B noch einseitige Nullteiler.

R bestehe aus allen Matrizen der Größe "abzählbar-mal-abzählbar" mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). R ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrix-Addition und -Multiplikation. Die Einheitsmatrix E hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen, sie ist das Einselement von R (das neutrale Element der Multiplikation).

A sei die Matrix in R, die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

$ A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\ddots \\&\vdots &&&\ddots &\ddots \end{pmatrix}} $

B sei die Transponierte $ A^{T} $ von A, also die Matrix, die in der ersten Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat, und sonst nur Nullen.

Es ist AB = E, also ist A eine Linkseinheit und B eine Rechtseinheit. Für jedes Element C von R hat aber das Produkt CA in der ersten Spalte nur Nullen, und das Produkt BC in der ersten Zeile nur Nullen. Damit kann A keine Rechtseinheit und B keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix D, die nur in der Komponente D1,1 eine Eins und sonst nur Nullen enthält, ist AD = 0 und DB = 0, also ist A ein Linksnullteiler und B ein Rechtsnullteiler.

Eine funktionalanalytische Variante dieses Beispiels ist der unilaterale Shiftoperator.

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